jueves, enero 21, 2016

La maldición de Tutankamón del método proporcional: la paradoja de Alabama

El método proporcional es la forma más justa de repartir escaños. Sin embargo, pesa sobre él una terrible maldición, como la del faraón, que lo condena ante los ojos de matemáticos, politólogos y expertos varios. Esa maldición se llama paradoja de Alabama.

Aviso para navegantes: este texto no va de política, sino, sobre todo, de matemáticas electorales.
Me ha parecido interesante escribir sobre esto porque ilustra uno de los problemas que tenemos los seres humanos, y no sólo en nuestro país: la falta de pensamiento propio, de espíritu crítico, la aceptación sistemática de los dogmas -sin cuestionarlos- si nos vienen de figuras con autoridad.

La paradoja de Alabama se considera unánimemente como un defecto del método proporcional, hasta el punto que, para muchos, lo hace menos válido que otros tan injustos como el método D'Hondt.
Y así se enseña, supongo, en las universidades. Nuestros catedráticos, nuestros licenciados, nuestros expertos, nuestras mentes más formadas. Todos dando por cierto, y transmitiendo de generación en generación, una valoración errónea acerca de un procedimiento matemático que, para más inri, es muy, muy básico.

Al grano: ¿qué es la paradoja de Alabama?

Lo explico a continuación, pero si lo preferís, os voy a pasar un vídeo donde una matemática, Guadalupe Castellano, explica el método D'Hondt y el método proporcional -"por la regla de tres"-, paradoja de Alabama incluida. Es una explicación muy buena, y sencilla, y muy correcta en cuanto a lo matemático. Pero incorrecta en cuanto a trasladar lo teórico a la vida real.



Lo cuento aquí igualmente, con un ejemplo -el mismo que usa la matemática del vídeo-:

Tenemos 521.000 votos divididos entre 6 candidaturas. Y queremos repartir 8 escaños de la manera más proporcional posible.
Para ello los repartimos mediante reglas de tres, a razón de un escaño cada 65.125 votos. Los asignamos:

Reparto proporcional, paso 1
Y nos encontramos con que sólo hemos asignado 5 escaños. Y ya ningún partido tiene 65.125 votos disponibles. Nos faltan 3 escaños.
La columna “Error” contiene la cantidad de votos que están “huérfanos” de escaño. La forma más justa de repartir esos 3 escaños es asignárselos a las candidaturas que tienen más votos sin cubrir (esto es, a los “restos mayores”). Que son D, E, y F. La cosa quedaría así:

Reparto proporcional, paso 2
Y ya tenemos repartidos los 8 escaños.

Como podemos ver, el método proporcional tiene error, un error de redondeo (118.750 votos mal representados, el 23% del total). Esto sucede porque no se puede ajustar a la perfección 8 escaños entre 6 candidaturas y 521.000 votos.
Y además, es un error importante -8 escaños son demasiado pocos: a medida que aumentan los escaños, el error tiende, con altibajos, a disminuir-.
Pero, en cualquier caso, el método proporcional minimiza el error. Con D'Hondt sería de 193.750 votos (37%).

Sin embargo, está la paradoja de Alabama.

Para saber lo que es la paradoja de Alabama, vamos a utilizar este mismo ejemplo, con los mismos votos, pero vamos a repartir ahora 9 escaños. El resultado es este:


Y, sorpresa, sorpresa, mirad lo que le ha ocurrido a la candidatura F.
Antes, repartiendo 8 escaños, le tocaba 1.
Ahora, repartiendo 9 escaños, no le toca ninguno. 
Repartiendo más, le tocan menos. Parece ilógico, ¿no? Ahí está la paradoja.
Y también parece injusto.

Aunque en realidad, no lo es. Es una ilusión. Pero una ilusión que ha "engañado" a sabios y expertos desde 1880, que es cuando se descubrió este “problema”.

Una ilusión que ha bastado para condenar al método proporcional.

¿Dónde está el problema?

Si os fijáis en la candidatura F, en el primer caso, con 8 escaños, resulta que le tocó uno con sólo 32.000 votos, pese a que el escaño valía 65.125 votos.
Esto es, la candidatura F está muy sobrerepresentada. El error de redondeo le ha beneficiado, y mucho. Se podría decir que ha tenido esa suerte. A alguna le tenía que tocar beneficiarse por el error de redondeo más que las demás.
Cuando repartimos 9 escaños, toca uno para cada 57.889 escaños. Y ese hecho cambia las asignaciones -a D le toca el sexto escaño directamente-, y también los restos que sobran del reparto inicial de escaños. El tercer mayor resto, que antes era la candidatura F, ahora es la C, que es la que recibe el error de redondeo a su favor.
A la F, en cambio, le ha tocado ser la más perjudicada. De nuevo, a alguna le tenía que tocar. Mala suerte.

Pero este hecho no supone ningún problema añadido. Es una consecuencia de que el error existe, y no se puede evitar. Ese error a veces beneficia a unos y perjudica a otros... y otras veces, es al contrario.
Pero eso no altera el hecho de que el método proporcional es el que menos error tiene. Es el más justo. Con paradoja de Alabama, o sin ella.

Si usamos el método D'Hondt para repartir 9 escaños, el error que sale es de 156.222 votantes mal representados. En el proporcional, con paradoja, el error es de 128.889.
El proporcional es mejor.

Y eso no es todo. La metedura de pata de los sabios y expertos es todavía mayor. Porque la paradoja de Alabama no sólo no es algo negativo, sino que, en realidad, cuando aparece, puede ser muy beneficiosa. Me explico:

Imaginémonos dos elecciones consecutivas. En una se reparten 8 escaños, en la siguiente, 9. Pero los votos son los mismos, los de este ejemplo.
En el primer periodo, la candidatura F ha estado muy sobrerepresentada. Sus votantes han tenido más peso que el que realmente les correspondía.
En el segundo periodo, la candidatura F ha estado infrarepresentada, más o menos, en el mismo grado.
Esto es, el error del primer periodo se ha compensado en el segundo. Lo que se le dio de más antes, se le quitó después. Tomados en conjunto los dos periodos, el error, en el caso de la candidatura F, prácticamente ha desaparecido.

En conclusión: la paradoja de Alabama, en este caso, ha sido beneficiosa. Ha reducido, y mucho, el déficit de representatividad:
La paradoja de Alabama mejorando la representatividad
En el primer periodo, el déficit de representatividad era de 118.750 votantes. En el segundo, 128.889. Pero tomados los dos en conjunto, al producirse la paradoja de Alabama, el déficit acumulado baja hasta los 90.083 votos. 45.041 votos de error de media por periodo electoral.
 
Si hacemos lo mismo con el método D'Hondt, sale un déficit acumulado de 297.972 votos. Más del triple.
Y, por seguir comparando, con el método Sainte-Laguë, sale 204.056.
No hay color.

La maldición del método proporcional no existe. Es una ilusión. La paradoja de Alabama, de ser algo, sería, o podría ser, en algunos casos, una bendición.

Así que, si hay que repartir escaños -que no tendríamos por qué, pero bueno, si hay que hacerlo-, el método es el proporcional. El de la regla de tres.
Porque es el mejor. Porque es el más justo.
Y si viene con paradoja, pues que venga. Mejor aún.

Y en cuanto a los expertos y sabios... y a los matemáticos... parece mentira que 135 años después de descubrir la paradoja... todavía sigan creyendo -y transmitiendo-, que es un problema. Un dogma de fe que se refuta con matemáticas elementales.

Manda huevos.



P.D. Que no sé yo si es sólo un problema de no saber, o también de no querer. Voy a ser mal pensado, para variar:

En el vídeo (minuto 12:40), cuando la entrevistadora le pregunta a la matemática si el método D'Hondt es más justo que el proporcional, no es capaz de responder que sí. Tartamudea.
¿Duda? ¿Le traiciona la conciencia? ¿Es buena matemática, pero mala mentirosa?
Al final, no afirma que sí, pero lo defiende de todas maneras, con un “...al menos, no tiene la paradoja de Alabama”.

Esto es, “¡que viene el Coco!

9 comentarios:

La Matemática dijo...

¡Hola! Buenas noches. Soy Guadalupe, la matemática del vídeo. Que sepas que me ha gustado mucho tu artículo. Y te aseguro que no pensaba en el "coco" cuando tartamudeaba. Yo simplemente estaba ilustrando el método del resto mayor y el de D'Hont. La palabra "justo" es muy opinable. A uno le puede parecer que lo justo es que los porcentajes de escaños y votos vayan parejos (representatividad de la cámara), pero a otro le puede parecer que lo justo es que el precio en "votos" de cada escaño sea el mismo (traducción => que todos los votos valgan lo mismo). Y para el de más allá ¡vete tú a saber qué!
De verdad que el problema no es tan fácil como hacer que la proporcionalidad sea buena. Es deseable que los métodos de reparto cumplan los requisitos de exactitud, verificación de la cuota, monotonía respecto a escaños, monotonía respecto a votos y homogeneidad. En 10 minutos de tele no tengo tiempo para entrar en detalles. Pido perdón por haber parecido simplista. La realidad matemática demostrable es que no existe ningún método que cumpla todos los requisitos y que D'Hont es el método que cumple más. Sin embargo, no es menos cierto que D'Hont aplicado en 52 circunscripciones tiende a ser una castaña.
A mí me encanta el método del resto mayor, con paradoja incluida (por cierto). De hecho, lo uso creativamente y de manera mixta (llamándolo método Pecas) en el artículo de las elecciones andaluzas que escribí posteriormente al programa de la tele (http://estenmaticas.es/docs/LUPE_ArticuloSistemaElectoral.pdf). Por favor, si tienes tiempo y ganas, te ruego que le eches un vistazo y me lo critiques destructiva o constructivamente (como prefieras) porque solo trabajando y debatiendo conjuntamente vamos a llegar a una solución que nos satisfaga a todos. Ahora estoy haciendo un estudio de las elecciones generales... a ver cuándo lo termino porque ¡mi tiempo no da para más!
Un saludo y muchas gracias.

Ocol dijo...

¡Buenas, Guadalupe!

Claro que hay muchos más factores que tener en cuenta, pero eso no valida cometer un error en un factor en concreto.

Lo que pienso que queda demostrado en este análisis es que la monotonía no es un requisito deseable en un método de reparto de escaños. De hecho, lo que podría ser deseable es que se rompa la monotonía y, gracias a ello, se produzca una compensación de errores cometidos.

En cuanto a la traducción de que el precio del escaño sea el mismo equivale a que todos los votos valgan lo mismo... no es así, Guadalupe.
Los votos que van a los partidos que quedan sin representación no valen nada. Los votos que van a partidos con representación sí valen.
El hecho de que, por D'Hondt o por el método que tú quieras, fijes un precio fijo para el escaño no implica que todos los votos valgan lo mismo. Implica que algunos votos -los que se llevan escaño- valen lo mismo. Los demás no valen nada.

Con el método proporcional, a su manera, ocurre más o menos lo mismo, pero al menos, es el método que menos agravios comparativos comete. Es decir, si hay un método del que se puede decir que hace que todos los votos valgan lo mismo, es el proporcional. Al menos es el que más cerca se queda.

Y aunque efectivamente la palabra "justo" es muy opinable, hay opiniones acertadas, y otras, erradas. O interesadas.

Aunque ningún método cumpla los requisitos, hay un método que se acerca más que los demás, que es el proporcional. Es el más justo.

A no ser que se incluyan requisitos que ni van ni vienen, ni aportan nada, como la monotonía.

Lo de la verificación de la cuota y la homogeneidad lo tengo que mirar, me has picado la curiosidad.

Y me miraré el artículo. Ya te contaré...

Un saludo,

Ocol dijo...

Bueno, por lo que veo, el método proporcional garantiza la verificación de la cuota, que es el criterio relacionado con la proporcionalidad, así que lo tenía que cumplir, sí o sí.
D'Hondt no lo cumple.

Los dos métodos cumplen la homogeneidad. Y precisamente por eso no veo que este criterio tenga demasiado valor... tendría que estudiar un método que no lo cumpla para ver si merece la pena incluir esto como criterio deseable. ¿Cuál no lo cumple? ¿Algún ejemplo que pueda consultar?

En cualquier caso, el único problema del método proporcional es la falta de monotonía. Y eso no es un problema, porque el reparto de escaños no tiene por qué ser monótono. ¿Por qué tendría que serlo? ¿Se justifica en alguna parte?
El hecho de que Maine le ganara un escaño a Nueva York cuando se incluyó a Oklahoma en 1907 no implica que la falta de monotonía sea indeseable... salvo para los de Nueva York, claro, por dejar de beneficiarse del redondeo. A los de Maine seguro que les importó bien poco. ;-)

Lo que sí tiene que cumplir el reparto de escaños es ser es lo más ajustado posible a la voluntad expresada por los ciudadanos con sus votos, o a la población existente, si hablamos de asignar número de escaños por población.
Y ese requisito, solo lo cumple un método: el proporcional. El más justo.

Anónimo dijo...

Un artículo interesante y que invita a la reflexión.

Veo, no obstante, un error en la presentación y análisis del problema:
El reparto por el cociente mayor se basa en el siguiente planteamiento: repartimos todos los escaños otorgando un valor al voto (en este caso 65.125 votos), y los escaños que sobran, los repartimos entre el resto, dándoselos a los que más se acerquen a esa cantidad.
La medida del error que se está tomando es que haya el mínimo número de "votos huerfanos".
El problema del planteamiento es que la medida del error (minimizar los votos huerfanos) coincide exactamente con el método analizado (dar el escaño al que tiene un resto mayor), así que el resultado será obviamente beneficioso al método que se está ensalzando en el artículo.

Pero con el reparto del cociente mayor estamos introduciendo una severa injusticia en el sistema: repartimos los escaños dando un cierto valor al voto (en este caso 65.125 votos) y luego damos un valor distinto al voto de los restos. Damos distinto valor a unos escaños y a otros.

Si echamos cuentas veremos que el resultado final es que el precio del voto para cada uno de los partidos (la división entre los votos recibidos y los escaños asignados) con el resto mayor es el siguiente:
A: 66667
B: 95000
C: 90000
D: 64000
E: 40000
F: 32000
Se puede comprobar que el valor del voto de los votantes del partido F es casi 3 veces más barato que el del partido B (y es menos de la mitad del precio "oficial" que habíamos asignado al escaño al principio del ejercicio: 65.125 votos).

Por el método D'Hondt el valor del voto de cada partido sería:
A: 50000
B: 47500
C: 90000
D: 64000
E: No consigue escaño con 40000
F: No consigue escaño con 32000
En este caso la relación entre el valor de uno y otro no llega a ser el doble en ningún caso (si diéramos escaño a E, a C ya le costaría más del doble) y la diferencia con el valor inicial (65.125 votos) no llega a los 25.000 votos.

Es decir: tanto si usamos como baremo del error la diferencia relativa del valor en votos de los escaños como si usamos la diferencia del valor de los votos con respecto al reparto proporcional, resulta que D'Hondt, con todos sus muchos defectos, es mejor que el resto mayor.

Lo que viene a decir el Teorema de imposibilidad de Balinski y Young, es que no hay ningún método de reparto proporcional "perfecto" que satisfaga todas las condiciones que cabe esperar de un reparto proporcional

Por lo demás el reparto por resto mayor tiene otras 2 "paradojas" aparte de la de Alabama que en este blog http://trampaselectorales.blogspot.com.es/2011/07/la-paradoja-de-alabama.html llaman la paradoja de la población (un partido que recibe más votos pierde escaños en favor de un partido que recibe menos) y la paradoja de las alternativas irrelevantes (el reparto de escaños varía en función de los resultados de los partidos que no consiguen ningún escaño)

De todas formas creo que prestamos excesiva atención a los decimales del reparto de escaños, y olvidamos centrar la atención en algo que da muchísima más desigualdad a los partidos que es las condiciones de desigualdad extrema en que las candidaturas se presentan a las elecciones, tanto en espacio en televisión, como en recogidas de firmas, como en financiación del Estado. Conviene recordarlo siempre que se hable de sistemas electorales.

Ocol dijo...

¡Hola, Víctor!

Efectivamente la medida del error coincide con el método analizado, y claro, ahí podría haber una pequeña trampa por mi parte. Pero si la medida de error es la correcta, entonces el planteamiento es el correcto.

Si nos enfrentamos a un proceso para escoger representantes, entiendo bastante razonable que la medida del error sea el número de personas que se quedan sin representante y las que están sobrerepresentadas. O el número de escaños asignados de menos o de más, que es equivalente.

No veo razonable, en cambio, que nos preocupemos por el precio del escaño, porque este proceso no es para repartir representantes al precio más igualado posible. Es para repartir representantes de la forma más ajustada posible a la voluntad de los ciudadanos.

Tampoco tengo claro que esos valores que indicas sean los precios correctos del escaño. Porque realmente el precio del escaño en D'Hondt es 47.500 votos, que es al precio al que se asigna el escaño, a todos los partidos.

Y el indicador (votos candidatura/escaños candidatura) da unas cifras, sí, pero esas cifras, ¿hasta qué punto pueden ser valoradas?

Calculamos en qué proporción cada candidatura está sobre o infrarepresentada, pero ese cálculo relativo no nos ofrece información sobre:
1) El número total de escaños asignados de más o de menos.
2) El número total de votantes no representados o sobrerepresentados.
3) En qué medida están infrarepresentados los partidos a los que se deja sin escaño (no es lo mismo dejar sin escaño a un partido con 30.000 votos, que podría ser aceptable en este caso, que a uno con 47.000).

De hecho, este indicador, en el caso de los partidos E y F, da infinito. División por cero. Error.

Es decir, estás utilizando un indicador que no sirve para todos los partidos, sólo sirve para los que se llevan escaños.
Los que no se llevan escaños, los excluyes del cálculo del déficit.
Y claro, así D'Hondt mejora sus prestaciones. Repartiendo entre menos, y sin tener en cuenta a los partidos pequeños.

Pero fíjate una cosa. Si excluimos los partidos E y F y hacemos el reparto entre los demás por el método proporcional... ¡sorpresa!

A: 66667
B: 47500
C: 45000
D: 64000

Los precios por escaño salen más ajustados que con D'Hondt. El reparto proporcional es mejor que D'Hondt también midiéndolo con este indicador. Para los mismos partidos, ojo.

Haciendo la misma trampa, claro. Excluyendo a los pequeños. Que es lo que, en el fondo, hace D'Hondt.

Pero los pequeños están. Y sus votantes tienen derecho, como los demás, a estar representados. Y deben ser tenidos en cuenta a la hora de contabilizar el déficit de representación.

Así que no acepto el indicador (votos candidatura/escaños candidatura). Lo que mide no es relevante. No se corresponde con el propósito de este proceso. No es calculable para todas las candidaturas. Excluye a los pequeños.

Y es normal que el método proporcional no satisfaga adecuadamente una condición que no busca la proporcionalidad integral del reparto entre todas las candidaturas, sólo entre algunas. Pero eso no quiere decir que el método sea peor, sino que la condición no es válida.

Ocol dijo...

Y bueno, las paradojas de la población y las alternativas irrelevantes no las he tratado porque la situación es equivalente. Lo dicho para la de Alabama vale también para esas otras. Son casos extremos consecuencia del error de redondeo, que en esos casos está al límite de irse para un lado o para otro.
Y si se dan, son para bien: compensan el error cometido en un sentido con un error más o menos similar en el otro sentido.

Todas estas paradojas son virtudes del método del resto mayor, no defectos.

---

Y sí, claro que esto es lo de menos. A efectos de reparto de escaños lo peor con diferencia son las circunscripciones, y luego, el corte. Y efectivamente mucho peor son, sobre todo, los medios de comunicación, y especialmente, la televisión.

La televisión es la que decide qué partidos pueden ganar las elecciones, y cuáles no.

Frente a eso, todo este asunto es anecdótico.

Pero es que lo demás ya lo he reflejado en este blog. Y las matemáticas electorales son una afición rara que tengo. :-)

Anónimo dijo...

No soy Victor. Jeje.

No defiendo el sistema D'Hondt, solo planteaba una crítica al planteamiento realizado y defiendo que no hay un sistema perfecto de reparto proporcional. Siempre beneficiarás a los pequeños o a los grandes, pero siempre beneficiarás a alguno, y la estimación para ver si uno u otro es mejor o peor dependerá del baremo que uses para estimar qué es mejor y qué es peor.

Dices que "la medida del error sea el número de personas que se quedan sin representante y las que están sobrerepresentadas". Imagina que después del reparto D'Hondt, asignamos 1 escaño al resto de formaciones para que estén representadas, y cuyo voto y tiempos parlamentarios se repartiera en función del porcentaje de voto de cada uno. Automáticamente todas las personas que hayan votado estarán representadas. Luego sería un resultado perfecto según tu baremo: todas las personas estarían representadas.

Pero no creo que ese resultado nos satisficera a ninguno porque lo que importa no es sólo que estén representadas, sino que estén representadas en función de los votos que han obtenido. Es decir: la relación votos/escaños sí que es importante. De hecho es el primer paso a realizar en un reparto proporcional.

La clave al final es la representación de los pequeños. "Sus votantes tienen derecho, como los demás, a estar representados", correcto, pero no tienen derecho a escaño por el mero hecho de ser pequeños. En el ejercicio planteado un partido "G" con 25.000 votos tampoco obtendría ningún escaño con un sistema de resto mayor; de hecho esa es otra "trampa" del ejercicio propuesto: poner un ejemplo en el que con uno de los dos métodos aparente "todos ganan".

Al final lo que estamos haciendo es repartir los restos, y como decía al principio, dependiendo del sistema que uses, estarás favoreciendo a unos o a otros. Por lo tanto, en mi opinión, no cabe hablar de un sistema "más justo", sino de un sistema que favorezca más a los pequeños (Resto mayor, Sainte-Laguë) o a los grandes (D'Hondt).

Dicho eso, yo también prefiero el Resto Mayor o Sainte-Laguë, porque creo que sí que hay que potenciar la entrada de nuevos partidos en las instituciones por simple cuestión de sanidad democrática, pero no me atrevería a afirmar que eso es lo más justo de forma absoluta, y mucho menos cuestionar la intencionalidad del que dijera lo contrario.

Anónimo dijo...

Seguramente te interese esta herramienta:
http://www.ugr.es/~focana/eleccion/indelec.htm

Calcula los principales índices de proporcionalidad documentados:
Indice de Rae
Indice de Rae corregido
Indice de Loosemore y Hanby
Indice de proporcionalidad de Mackie y Rose
Indice de máxima desviaci ́on de Lijphart
Indice de cuadrados mínimos de Gallagher
Indice de cuadrados mínimos corregido por Lijphart
Indice de Saint-Laguë
Indices robustos de desproporcionalidad
Indice de sesgo de Cox y Shugart
Correcciones del índice de Cox y Shugart
Indice de sesgo robusto
Correcciones del índice de sesgo robusto

Ocol dijo...

Vaya, "anónimo", me has recordado a otra persona, je, je.

La estimación depende del baremo, pero hay baremos que sirven al objetivo que se pretende, un reparto de escaños ajustado a los votos de la gente (máxima representatividad, sanidad democrática), y otros baremos no sirven a ese objetivo, y por tanto, no son válidos.

Y no tengo el menor problema en afirmarlo tajantemente, porque es una cuestión matemática. Si un baremo me lleva a perder representatividad, es inadecuado -e injusto-. Y su uso es, bien fruto de la ignorancia, bien malintencionado.

Con el método del resto mayor, a priori, no beneficias ni a los grandes ni a los pequeños. En cada caso concreto pueden salir beneficiados unos u otros, por el azar de dónde cae el error de redondeo. Unas veces serán unos, otras veces, los otros. Lo justo, o al menos, lo más justo que se puede conseguir transformando votos en escaños.

Frente al supuesto que me planteas, imagínate que cada partido/diputado tuviera un peso en votos en el parlamento exactamente proporcional a sus votos conseguidos, independientemente del número de escaños. Y que entraran todos los partidos, al menos, con un diputado. Eso sería la proporcionalidad perfecta.
Que no tiene porqué dejar satisfechos a todos, porque a muchos del PPSOE les sentaría mal perder poder a manos de los pequeños. Pero si queremos democracia, la democracia es así: tenemos que entrar todos.

El sistema del resto mayor no llega a tanto, pero es el que más se aproxima, de lo que hay. Aunque es igualmente inadecuado, porque a día de hoy, gracias a las nuevas tecnologías, podríamos tener una representatividad perfecta si quisiéramos.

Gracias por el enlace, sí que me interesa...